A urmat cursurile Academiei Domneşti şi ale Facultăţii de Ştiinţe din Iaşi, apoi pe cele ale Şcolii Normale Superioare din Paris.
În 1870, şi-a luat licenţa în matematici şi în ştiinţe fizice la Sorbona.
Între 1884-1896 a fost profesor la Şcoala Normală Superioară din Iaşi, care fusese înfiinţată în 1874 cu scopul de a pregăti cadre didactice care să profeseze în învăţământul secundar şi primar.
În perioada 1871-1909, a fost profesor de geometria analitică şi trigonometria sferică la Facultatea de Ştiinţe din cadrul Universităţii din Iaşi; decan al Facultăţii de Ştiinţe (1880-1901); rector al Universităţii din Iaşi (1901-1907).
A fost membru fondator al revistei Recreaţii Ştiinţifice (1883) şi membru în colegiul de redacţie al revistei Gazeta Matematică, unde a publicat cu precădere articole de istoriografie matematică.
A întocmit şi publicat câteva manuale: Algebră (1887) pentru licee şi candidaţi la bacalaureat, Curs de aritmetică raţională (1890) pentru licee, Geometrie elementară (1891) pentru cursul secundar, Geometrie analitică (1898) ş.a.
S-a aplecat asupra istoriografiei matematice, studiind vechi manuscrise de matematică, cu o largă circulaţie în Moldova.
Ca o recunoaştere a meritelor sale didactice şi ştiinţifice, profesorul Constantin Climescu a fost ales, la 31 martie 1892, membru corespondent al Academiei Române.
Cinstirea generalului Eremia Grigorescu
Constantin Climescu a făcut parte dintr-un grup de foşti profesori ai generalului Eremia Grigorescu, care a studiat la Universitatea din Iaşi, grup de iniţiativă constituit cu scopul de a confecţiona o sabie de onoare care să-l recompenseze pe general, în ideea reluării luptei pentru reîntregirea naţională.
Astfel, la sfârşitul Primului Război Mondial, Constantin Climescu, alături de A. D. Xenopol, Petru Poni, Xenofon Gheorghiu, Constantin Thiron şi dr. E. Riegler au organizat o ceremonie de înmânare a sabiei.
La 11 noiembrie 1918, Aula Universităţii din Iaşi a devenit neîncăpătoare.
Au participat inclusiv membrii guvernului şi membri ai corpului diplomatic, personalităţi militare şi culturale, profesori şi studenţi. Profesorul Petru Poni – pe atunci preşedintele Academiei Române şi ministru al Instrucţiei – i-a oferit lui Eremia Grigorescu sabia, o adevărată capodoperă, ce avea ataşată panglica Ordinului „Mihai Viteazul”.
În anul 1921, Constantin Climescu a îndeplinit funcţia de primar al Iaşiului.
